乱数ライブラリー

多変量正規分布

平均$\mu$、分散共分散行列$\sum$である多変量正規分布の確率密度関数は以下のとおりである。

$f\left(z_1,z_2,\ldots ,z_p\right)=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi })^p \sqrt{\left| \Sigma \right| }}exp\left(-\frac{1}{2}\left(z-\mu\right)'\Sigma^{-1}\left(z-\mu\right) \right)$


平均と分散共分散行列は以下のように与えられたものとする。

$\mu =(\mu _1  \mu _2  \ldots  \mu _p)$

$\Sigma =\left(
\begin{array}{ccc}
\sigma _{11} & \cdots & \sigma _{1 p} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\sigma _{1 p} & \cdots & \sigma _{p p} \\
\end{array}
\right)$




分散共分散行列$\sum$は正値対象行列であるので、コレスキー分解により以下のような下三角行列と上三角行列に分解することができる。

$\Sigma =A A'$


ただし、$A'$は$A$の転置行列であり、下三角行列$A$は以下のようになっている。

$A=\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1 p} & a_{2 p} & \cdots & a_{\text{pp}} \\
\end{array}
\right)$






平均$\mu$、分散共分散行列$\sum$である$p$次元正規分布に従う乱数$Y_1,Y_2,…, Y_p$は、互いに独立な標準正規乱数$Z_1,Z_2,…,Z_p$から以下のようにして作る。

$Y_1=\mu _1+a_{11} Z_1$

$Y_2=\mu _2+a_{21} Z_1+a_{22} Z_2$

    $:$

$Y_p=\mu _p+a_{p 1} Z_1+a_{p 2} Z_2 +\cdots+a_{p p} Z_p$



参考文献:
  • 伏見正則,乱数,UP 応用数学選書,東京大学出版会,1989




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